Winkler弹性介质中多孔功能梯度材料截锥壳的弯曲

摘要

弹性介质中板壳结构的力学特性研究，大都假设结构体在变形过程中始终与介质紧密接触。为研究可脱离的Winkler弹性介质中含孔隙功能梯度材料截锥壳在环向荷载作用下的弯曲问题，以陶瓷材料质量分数、体积指数和孔隙率为控制参数，根据混合律计算含均匀孔隙功能梯度材料的物性参数。基于Donnell经典薄壳理论和Hamilton原理，建立Winkler弹性介质和环向荷载共同作用下截锥壳的平衡方程和变形协调方程。考虑锥壳两端简支边界条件，采用Galerkin积分法求解得到截锥壳弯曲挠度的解析解。研究在弹性介质与壳体接触和脱离两种情况下，孔隙率、功能梯度材料组成和截锥壳尺寸等因素对壳体挠度值的影响。结果表明，截锥壳挠度值随着孔隙率、体积指数、壳体长径比、径厚比和半锥角的增大而增大，随着陶瓷质量分数的增大而减小。截锥壳与Winkler弹性介质接触时的挠度值比脱离时小，这是因弹性介质对壳体有一定的反作用力。在截锥壳母线方向上，其中部的挠度值较大，而由中部到两端的挠度值逐渐减小；在截锥壳环向方向上，其挠度值呈现周期变化。分析多孔FGM截锥壳在弹性介质和环向荷载作用下的弯曲问题，为FGM截锥壳在工程领域中的应用提供了理论基础。

关键词

弹性介质; 功能梯度材料; 孔隙; 截锥壳; 弯曲; Donnell理论; Galerkin积分法; 结构刚度

0 引言

功能梯度材料（Functionally graded material，FGM）与传统的均质材料不同，是一种为满足使用功能而设计的多相材料。该材料的成分和结构在空间中沿某一个或多个方向呈连续梯度变化，从而降低层合板层间应力集中^［1］。FGM截锥壳因优异的力学性能，被广泛应用于航空航天、船舶与海洋和交通运输等工程领域^［2］。

弹性介质中FGM薄壳的力学特性吸引了国内外众多学者的关注。目前，对于弹性介质中板壳结构力学特性的研究主要集中于Winkler-Pasternak双参数弹性地基^［3］。其中，Sofiyev和Najafov等^［4-7］提出了基于双参数地基中FGM截锥壳非线性屈曲及振动问题的解析解，并研究了在弹性地基中受轴向、环向荷载作用的FGM截锥壳的屈曲和振动特性。结果表明，地基剪切参数比压缩参数对振动和屈曲的影响更大。Asanjarani等^［8］基于一阶剪切变形理论推导了双参数地基中FGM截锥壳自由振动的解析解，并与有限元结果进行了对比。Chan等^［9］基于非线性薄壳理论研究了热环境下弹性介质中加筋FGM截锥壳的振动特性，发现截锥壳振幅随弹性地基系数增大而减小。另外，Dinh^［10］和Nguyen^［11］也分别研究了弹性地基中碳纳米管增强复合材料截锥壳的振动特性。

由于FGM制备技术的不成熟，在生产过程中其内部经常会出现孔隙。因此，内部存在孔隙的FGM截锥壳力学特性的研究也一直备受关注。Li等^［12］分析了孔隙率及3种孔隙分布对多孔泡沫金属锥壳固有振动的影响。Rahmani等^［13］研究了不同温度下含2种孔隙类型的FGM截锥壳的振动特性。结果表明，当陶瓷幂律分布指数较小时，FGM截锥壳的量纲归一化频率随孔隙率增大而增大。Thai等^［14］用位移法分析了双参数弹性地基中多孔偏心加筋FGM截锥壳的非线性屈曲特性，结果表明孔隙率对壳体临界屈曲荷载及屈曲后荷载-位移曲线均有较大影响。

综上所述，关于弹性介质中截锥壳力学特性的研究，主要集中于Winkler-pasternak双参数弹性地基。而且，现有文献大都假设板壳在变形过程中始终与弹性地基紧密接触，这与工程实际是不符的。因此，本文研究了截锥壳与弹性介质可脱离的情况下，多孔FGM截锥壳在环向荷载作用下的弯曲问题，为FGM截锥壳在工程领域中的应用提供了理论基础。

1 基本方程及求解

1.1 物性参数

假设FGM截锥壳在环向受到Winkler弹性介质作用，以截锥壳顶点$O$为原点建立曲线坐标系（S、θ和z）。其中，S、θ、z分别代表锥壳母线、周向和厚度方向。截锥壳厚度、母线长、半锥角、小端半径、大端半径分别用$h$、$L$、$\gamma$、$R_{\mathrm{1}}$和$R_{\mathrm{2}}$表示，在$S$方向上原点距离小端、大端的距离分别为$S_{\mathrm{1}}$和$S_{\mathrm{2}}$表示，锥壳中面在$S$、$\theta$、$z$方向上的位移分别用$u$、$v$和$w$表示。图1为Winkler地基中FGM截锥壳。

图1  Winkler地基中FGM截锥壳

Figure 1  FGM truncated cone shell in Winkler foundation

图2为截锥壳在环向所受的静荷载及孔隙分布情况。从图2可见，截锥壳在环向受到均匀的静载荷（q）作用，壳体内的孔隙分布均匀。

图2  截锥壳环向静荷载及孔隙分布

Figure 2  Circumferential static loading and pore distribution

（a）—环向静荷载；（b）—孔隙均匀分布。

（a）—circumferential static loading；（b）—uniform pore distribution.

FGM截锥壳质量分数和体积分数分别满足如下关系。

$$W_C+W_M=\mathrm{1}$$

（1）

$$V_C^{\iota }+V_M^{\iota }+e=\mathrm{1}$$

（2）

式（1）—（2）中，$W_C$、$W_M$和$V_C^{\iota }$、$V_M^{\iota }$分别为FGM截锥壳复合材料中陶瓷、金属的质量分数和体积分数，$e$为孔隙体积含量。由式（1）和式（2）可推导出FGM截锥壳复合材料中陶瓷和金属的体积含量（见式（3）和式（4））。其中，${\rho }_{{}_C}$、${\rho }_{{}_M}$分别为陶瓷和金属的材料密度。

$$V_C^{\iota }=\left(\mathrm{1}-e\right)\frac{W_C/{\rho }_{{}_C}}{W_C/{\rho }_C+W_M/{\rho }_{{}_M}}$$

（3）

$$V_M^{\iota }=\left(\mathrm{1}-e\right)\frac{W_M/{\rho }_{{}_M}}{W_C/{\rho }_{{}_C}+W_M/{\rho }_{{}_M}}$$

（4）

假设FGM锥壳中陶瓷材料体积分数$V_C^{\iota }$沿$z$方向呈幂律分布（见式（5））。其中，$N$为体积指数。

$$V_C(z)=V_C^{\iota }{(\mathrm{0.5}+z/h)}^N$$

（5）

基于混合律模型，FGM锥壳的物性参数的表达式见式（6）。

$$P(z)=(P_C-P_M)V_C+P_M(\mathrm{1}-e)$$

（6）

1.2 基本方程及求解

当挠度w大于零时，壳体与弹性介质脱离，表示介质对壳体的反作用力为零。当挠度小于零时，壳体与弹性介质接触，介质对壳体的反作用力用式（7）表示。其中，$K_w$为地基的压缩参数。

$$P(S,\theta )=K_{w}w$$

（7）

引入应力函数F和转换变量$\phi =\theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\gamma$，可得截锥壳面内力与F的关系（见式（8））。

$$\left.\begin{array}{l}{N}_S=\frac{\mathrm{1}}{S^{\mathrm{2}}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}F}{\partial {\phi }^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{S}\frac{\partial F}{\partial S}\\ N_{\theta }=\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}F}{\partial S^{\mathrm{2}}}\\ N_{S\theta }=-\frac{\mathrm{1}}{S}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}F}{\partial S\partial \phi }+\frac{\mathrm{1}}{S^{\mathrm{2}}}\frac{\partial F}{\partial \phi }\end{array}\right\}$$

（8）

为简化计算，引入自变量$S=S_{\mathrm{1}}{e}^x$和$F=F_{\mathrm{1}}{e}^{\mathrm{2}x}$。根据Donnell经典薄壳理论和Hamilton原理，可导出截锥壳在环向静荷载下弯曲控制方程的微分算子形式（见式（9）和式（10））。

Lii（F1）+Lij（w）+kKwL13（w）=qL14（w）

（9）

Lji（F1）+Ljj（w）=0

（10）

式中：$L_{ij}$为线性微分算子，其中i、j分别为1和2^［9］；$L_{\mathrm{13}}(w)=-S_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{x}w$，$L_{\mathrm{14}}(w)=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\gamma )(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}w}{\partial {\phi }^{\mathrm{2}}})$；参数$k$定义见式（11）。

$$k=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0},w>\mathrm{0}\\ \mathrm{1},w<\mathrm{0}\end{array}\right.$$

（11）

假设截锥壳边界条件为两端简支，可设挠度形式解如下（见式（12））。

$$w(x,\phi )={\displaystyle \sum _{{\eta }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{{\eta }_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\infty }}}{w}_{{\eta }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{e}}^x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\eta }_{\mathrm{1}}x)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\eta }_{\mathrm{2}}\phi )$$

（12）

式中${\eta }_{\mathrm{1}}=m\pi /x_{\mathrm{0}}$，${\eta }_{\mathrm{2}}=n/\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\gamma$，$x_{\mathrm{0}}=\mathrm{l}\mathrm{n}(S_{\mathrm{2}}/S_{\mathrm{1}})$，$w_{{\eta }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{2}}}$为待定系数，$m$、$n$分别为轴向波数和周向波数。

将式（12）代入式（10）中，由谐波平衡法可求得应力函数的形式解（见式（13））。其中，${\mathrm{\Lambda }}_i(i=\mathrm{1}-\mathrm{4})$系数参考文献［9］。

$$F(x,\phi )={\displaystyle \sum _{{\eta }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{{\eta }_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\infty }}}{f}_{{\eta }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{2}}}({\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\eta }_{\mathrm{1}}x+{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\eta }_{\mathrm{1}}x+{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{3}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\eta }_{\mathrm{1}}x+{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{4}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\eta }_{\mathrm{1}}x)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\eta }_{\mathrm{2}}\phi$$

（13）

将式（12）和式（13）代入式（9）和式（10），以${\mathrm{e}}^x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\eta }_{\mathrm{1}}x)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\eta }_{\mathrm{2}}\phi )$为权函数，在截锥壳域内进行Galerkin积分，可得静力平衡方程（见式（14））。

$$K\left\{w_{{\eta }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{2}}}\right\}=\left\{q_{{\eta }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{2}}}\right\}$$

（14）

通过求解静力平衡方程可得截锥壳的弯曲挠度。考虑截锥壳振动，其控制方程的微分算子形式见式（15）。

$$\begin{array}{l}{L}_{\mathrm{11}}(F_{\mathrm{1}})+L_{\mathrm{12}}(w)+k{K}_w{L}_{\mathrm{13}}(w)=\\ q{L}_{\mathrm{14}}(w)+I_{\mathrm{0}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}w}{\partial t^{\mathrm{2}}}\end{array}$$

（15）

式中，$I_{\mathrm{0}}$为质量系数，且$I_{\mathrm{0}}={\int }_{-h/\mathrm{2}}^{h/\mathrm{2}}\rho (z)\mathrm{d}z$，t为时间变量。

通过截锥壳域内Galerkin积分得到二阶线性常微分方程$M\left\{\ddot{w}\right\}+K\left\{w\right\}=\left\{q\right\}$。当$q=\mathrm{0}$时，令$w_{{\eta }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{2}}}=a{e}^{{\varpi }_{{\eta }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{2}}}t}$，可得$(m,n)$模态下自由振动频率${\varpi }_{{\eta }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{2}}}=\sqrt[]{K/M}$，截锥壳量纲归一化频率可用下式表示。

$$f={\varpi }_{{\eta }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{2}}}{R}_{\mathrm{2}}\sqrt[]{{\rho }_c(\mathrm{1}-v_c^{\mathrm{2}})/E_c}$$

（16）

2 算例对比与数值分析

设计FGM薄截锥壳的组成材料为金属（Ni）和陶瓷（Si₃N₄），两种材料的参数分别为$E_c$=3.222 7×10¹¹ Pa、$v_c$=0.24、${\rho }_c$=2 370 kg∙m^-3和$E_m$=2.050 98×10¹¹ Pa、$v_m$=0.31、${\rho }_m$=8 900 kg∙m^-3。如无特殊说明，截锥壳尺寸为$h$=0.01 m、$\gamma$=30°、$R_{\mathrm{1}}/h$=100、$L=\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}$。

2.1 算例对比

对本文求得的量纲归一化频率与文献［4］的进行对比，结果列于表1。由表1可知，与文献［4］相比，本文计算结果最大相对误差为1.79%，二者结果较为接近。

表1  Winkler地基中FGM截锥壳的量纲归一化频率

Table 1  Quantitative normalized frequencies of FGM truncated conical shells in Winkler media foundations

Kw/（N∙m-3）	线性分布		二次分布		逆二次分布
	文献[4]	本文	文献[4]	本文	文献[4]	本文
0	0.0997(7)	0.0992(7)	0.0887(7)	0.0881(7)	0.1139(7)	0.1136(7)
5×106	0.1103(7)	0.1104(7)	0.0988(7)	0.0987(7)	0.1255(7)	0.1258(7)
1×107	0.1200(7)	0.1207(7)	0.1078(7)	0.1083(7)	0.1361(7)	0.1371(7)
5×107	0.1797(7)	0.1828(7)	0.1631(7)	0.1659(7)	0.2017(7)	0.2053(7)

2.2 数据分析

对孔隙率、弹性介质和几何尺寸对截锥壳弯曲挠度的影响进行分析。假设截锥壳所受的环向静荷载$q$=1×10³ Pa，孔隙率$e$=0.1，陶瓷质量分数$W_c$=0.5，地基参数$K_w$=1×10⁷ N∙m^-3。为方便计算，现将壳体厚度中面坐标点$(x_i,{\phi }_j)=(\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}+S/S_{\mathrm{1}}),\theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\gamma ))$用变量a和b表示为$(x_i,{\phi }_j)$=$(\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}+aL/S_{\mathrm{1}}),$ $b\pi \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\gamma ))$表示。

为研究叠加至不同模态对锥壳弯曲挠度的影响，取与地基脱离的坐标点$\left(a=\mathrm{0.5},b=\mathrm{1.5}\right)$进行分析。其中，陶瓷分布体积指数N=1.0。半波数$m$及全波数$n$的取值范围定义为$m=\mathrm{1}\mathrm{、}\mathrm{2}\mathrm{、}\mathrm{3}\mathrm{、}\cdot \cdot \cdot m_i$和$n=\mathrm{1}\mathrm{、}\mathrm{2}\mathrm{、}\mathrm{3}\mathrm{、}\cdot \cdot \cdot n_i$。表2为m和n取不同最大值时弯曲挠度$w$的比较结果，弯曲挠度值精确至$\mathrm{0.01}\mathrm{\mu }\mathrm{m}$。由表2可知，当$m_i\ge \mathrm{12}$、$n_i\ge \mathrm{41}$时，弯曲挠度值基本一致。表明，模态由$(\mathrm{1,1})$至$(\mathrm{12,41})$范围内所有挠度形式解叠加，可得到较为精确的截锥壳挠度值。

表2  m和n取不同最大值时弯曲挠度$w$的比较结果

Table 2  Comparison of bending deflection $w$ with different maximum values of m and n

ni	$w$(mi=4)/$\mathrm{\mu }\mathrm{m}$	$w$(mi=8)/$\mathrm{\mu }\mathrm{m}$	$w$(mi=12)/$\mathrm{\mu }\mathrm{m}$	$w$(mi=16)/$\mathrm{\mu }\mathrm{m}$
5	-919.59	-896.90	-894.12	-889.88
9	888.81	873.47	872.67	872.53
13	727.64	712.98	710.85	710.73
17	601.08	600.25	584.99	584.90
21	485.56	478.84	470.13	470.06
25	423.38	406.91	398.37	398.31
29	390.38	372.50	371.10	371.04
33	378.86	362.25	361.78	361.74
37	373.57	359.40	358.92	358.88
41	372.94	358.87	358.39	358.39
45	372.69	358.75	358.39	358.39

由于模态$(\mathrm{1,1})$至$(\mathrm{12,41})$范围内截锥壳挠度值较为精确，因此下面计算均将模态叠加至$(m,n)=(\mathrm{12,41})$。表3为截锥壳中面不同坐标点处的陶瓷分布体积指数对挠度值的影响。由表3可知，随着陶瓷分布体积指数$N$的增大，挠度值的绝对值变大，表明壳体结构变形幅度变大。这是由于随着陶瓷分布体积指数的增大，截锥壳中陶瓷组分减小而金属组分增大，陶瓷的弹性模量比金属的大，因此降低了截锥壳结构的有效刚度。以坐标点$\left(a=\mathrm{0.4},b=\mathrm{1.5}\right)$为例，$N$为1.0、2.0的挠度值比$N$为0.5时分别增大5.3%和10.0%。当截锥壳的部分坐标点处$w<\mathrm{0}$时壳体与地基接触，由于受地基挤压壳体向内部变形与地基脱离，此时部分坐标点处$w>\mathrm{0}$。在截锥壳$x$方向上，挠度值的绝对值呈现先增大后减小的趋势，壳体在$x$方向中间部分变形幅度最大。以$\phi$方向$b=\mathrm{1.5}$处为例，在$N$=0.5时$x$方向上其余3点处挠度值较$a=\mathrm{0.2}$分别增大58.5%、53.7%和-6.2%。

表3  不同坐标点处挠度值$w$

Table 2  Deflection values $w$ at different coordinate points

a	b	$w$(N=0.5)/$\mathrm{\mu }\mathrm{m}$	$w$(N=1.0)/$\mathrm{\mu }\mathrm{m}$	$w$(N=2.0)/$\mathrm{\mu }\mathrm{m}$
0.2	0.25、0.75	-99.473 1	-102.871 0	-105.789 0
	0.5	-140.684 0	-145.487 0	-149.618 0
	1.25、1.75	151.899 4	159.944 7	167.149 4
	1.5	214.700 5	226.108 0	236.314 7
0.4	0.25、0.75	-157.627 0	-163.019 0	-167.642 0
	0.5	-222.926 0	-230.539 0	-237.083 0
	1.25、1.75	240.637 5	253.413 9	264.785 3
	1.5	340.314 8	358.386 6	374.465 1
0.6	0.25、0.75	-152.848 0	-158.071 0	-162.562 0
	0.5	-216.165 0	-223.538 0	-229.890 0
	1.25、1.75	233.336 7	245.728 8	256.752 1
	1.5	329.988 0	347.507 5	363.093 7
0.8	0.25、0.75	-93.241 0	-96.423 1	-99.160 9
	0.5	-131.870 0	-136.373 0	-140.240 0
	1.25、1.75	142.341 2	149.894 1	156.630 5
	1.5	201.299 8	211.986 8	221.497 0

2.2.1 孔隙率和陶瓷质量分数对挠度的影响

为分析孔隙率及陶瓷质量分数对挠度的影响，分别选取受地基挤压坐标点$\left(a=\mathrm{0.5},b=\mathrm{0.5}\right)$和与地基脱离的坐标点$\left(a=\mathrm{0.5},b=\mathrm{1.5}\right)$进行分析计算。

图3为孔隙率对挠度的影响。从图3可见，两坐标点处挠度的绝对值均随孔隙率$e$的增大而增大。因为孔隙率增大降低了FGM截锥壳的有效物性参数，从而使其结构的刚度降低。孔隙率$e$由0增大到0.4时，两点处挠度值均增大。当N=0.5时，两点处挠度值分别增大40.9%和74.3%；当N=1时，两点处挠度值分别增大40.2%和74.8%；当N=1.5时，两点处挠度值分别增大39.6%和75.2%。

图3  孔隙率对挠度的影响

Figure 3  Effect of porosity on deflection

（a）—坐标点$\left(a=\mathrm{0.5},b=\mathrm{0.5}\right)$；（b）—坐标点$\left(a=\mathrm{0.5},b=\mathrm{1.5}\right)$。

（a）—coordinate point$\left(a=\mathrm{0.5},b=\mathrm{0.5}\right)$；（b）—coordinate point$\left(a=\mathrm{0.5},b=\mathrm{1.5}\right)$.

图4为陶瓷质量分数对挠度的影响。从图4可见，随陶瓷质量分数$W_c$的增大，坐标点处挠度值的绝对值均减小。结果说明，FGM截锥壳的有效刚度随着陶瓷质量分数的增加而增大。当材料体积指数$N$=0.5时，随着陶瓷质量分数$W_c$从0.1增大到0.5，两坐标点处挠度分别减小9.17%和14.71%。另外，负挠度的一侧，FGM截锥壳的变形值更小，这是其周边的弹性介质对壳体有约束的缘故

图4  陶瓷质量含量对挠度的影响

Figure 4  Effect of ceramic mass content on deflection

（a）—坐标点$\left(a=\mathrm{0.5},b=\mathrm{0.5}\right)$；（b）—坐标点$\left(a=\mathrm{0.5},b=\mathrm{1.5}\right)$。

（a）—coordinate point$\left(a=\mathrm{0.5},b=\mathrm{0.5}\right)$；（b）—coordinate point$\left(a=\mathrm{0.5},b=\mathrm{1.5}\right)$.

2.2.2 截锥壳径厚比、长径比和半锥角对挠度的影响

图5为坐标点$\left(a=\mathrm{0.5},b=\mathrm{1.5}\right)$处，体积指数$N$=0.5时截锥壳径厚比、长径比和半锥角对挠度的影响。从图5可见，坐标点处挠度值随着截锥壳的径厚比$R_{\mathrm{1}}/h$、长径比$L/R_{\mathrm{1}}$及半锥角$\gamma$的增大而增大。结果说明，截锥壳尺寸的变化影响了结构的有效刚度，从而影响到其挠度值。当$\gamma$=30°时，与R₁/h=50相比，$R_{\mathrm{1}}/h$=100、150的挠度值分别增大了521.2%和1 426.4%；与L/R₁=1相比，长径比$L/R_{\mathrm{1}}$=2、3的挠度值分别增大了375.9%和924.4%；当R₁/h=100、L/R₁=1时，与$\gamma$=15°相比，半锥角$\gamma$=30°、60°的挠度值分别增大了75.9%和596.1%。结果表明，截锥壳尺寸对挠度值有较大的影响。

图5  半锥角、径厚比和长径比对挠度值的影响

Figure 5  Effect of half cone angle， diameter-thickness ratio and length-diameter ratio on deflection

（a）—径厚比；（b）—长径比。

（a）—radius to thickness ratio；（b）—length to diameter ratio.

3 结论

本文基于混合律模型及经典薄壳理论，建立了FGM截锥壳与Winkler弹性地基接触和脱离状态下的挠度方程，研究了孔隙率及陶瓷体积分数对挠度的影响。

（1）挠度值随孔隙率和材料体积指数的增大而增大，随陶瓷体积分数的增大而减小。

（2）截锥壳与地基接触处挠度值相对较小，说明弹性地基对锥壳有一定的反作用力。

（3）对于截锥壳尺寸，挠度值随径厚比、长径比和半锥角的增大而增大，且锥壳尺寸对挠度值影响较大。